《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。
但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。
看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。
《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的长（l）。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2（a+b）h .
刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。
刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。
所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32（1）]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，中国古代称为“堑堵”（如图1），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。
《九章算术》商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆亭”）的体积计算公式。
甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33（1）]，上、下底为矩形的拟
柱体（古代称“刍童”）以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体（古代称“刍甍”）（“甍”音“梦”）等都可以计算其体积。
代数
《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。
1．开平方和开立方
《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。
所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是中国古代的长度单位。
“开方（是指开平方，由正方形面积求其一边之长。）术曰：置积为实（即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实）借一算（指借用一算筹放置于最后一行，用以定位）。
步之（指所借的算筹一步一步移动）超一等（指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当）。
议所得（指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位）。
以一乘所借一算为法（指以初商2乘所借算一次为，置于“实”下为“法”）而以除（指以初商2乘“法”得，由“实”减去得：-=）除已，倍法为定法，其复除，折法而下（指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位）。
复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除（这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。再乘以次商，则得：3×4300=，由“实”减去得：－=2325。
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