【世界基数】
定义：一个基数 k 是 worldly cardin al ，如果 Vk = ZFC .
我并不知道这个基数是谁提出的，这里只是做出一些解释。下面的结果应该都是已知的，但是我没有去找参考文献。我们用 WC 表示 workdly cardinal 。下面的命题是显然的。
命题1:ZFC+3 WCH Con ( ZFC + Co n ( ZFC )).
由 Godel 不完备性， ZFC + Con ( ZF C ）不能证明3WC．同样 Con ( ZFC +3 WC )也不是 ZFC + Con ( ZFC ）能证明的。
我们用 I 表示不可达基数。显然每一
个不可达基数都是 WC ，因此：
命题2:ZFC+3I3WC.
但是最小的 WC 严格小于最小的 l 。命题3：如果 k 是不可达的，则存在世界基数入＆ amp ; amp ; It ; k 。
证明：假定 k 不可达，有 Skolem 定理（及其构造方法），存在可数模型 MO ＜ Vk 以及n0 amp ; lt ; k 使得M0EVn0。一般地，对于任意 i , Mi ＜ Vk 以及 ni amp ; lt ; k 使得 MiEVni ，存在模型 Mi +1EVni+1使得 Mi +1＜ Vk 并且 Vni CMi +1。
令入＝ Uini amp ; lt ; k 。显然 Vi ( Mi ＜ Mi +1)。因而有模型论基本知识， U iMi ＜ Vk 。有构造，我们知道 V 入＝ UiMi 。因此 V 入＜ Vk 从而是 ZFC 的模型。因而入是 WC
由命题3，我们有以下推论：
推论3.1:ZFC+3 II Con ( ZFC +3 W
C ).
因此 WC 的协调性强度是严格弱于不可达基数的。由命题3的证明，我们可以推断最小的世界基数具有共尾性ω。
还有人提及以下定义：
定义2：一个序数 a 是可扩的，如果存在 p amp ; gt ; a 使得 Va ＜ VB 。
我们用 EC 表示可扩基数。显然命题
3中的入就是可扩的。并且可以构造在 k 下另外一个入' amp ; gt ；入使得 V 入＜ V 入'＜ Vk .@ ZS Chen 在评论里提到了 Joel Hamkins 给了关于可扩基数的比较完整的描述（ The otherwordly cardinals )。其中下面这个定理澄清了 EC 的强度
定理1( Hamkins ): ECS WC ，并且每一个 EC 下面都有一个 WC 严格小于它．
注意虽然不可达基数的强度要严格高于存在 EC 的协调性，但是 I EC ．例如最小的不可达基数不属于 EC。
【ZFC 公理宇宙】
1．不可达基数
可数，不可数，后继，极限，正则，奇异。
不可达基数就是指不可数正规的强极限基数，如果是不可数正规的极限基数，则称之为弱不可达基数。可数就是指小于等于阿列夫零的基数。反之不可数就是指大于阿列夫零的基数。后继，就是指比它小的基数中有最大值，极限就是指比它小的基数中没有最大值，强极限就是比它小的任意基数中，2的次方均小于它。正规就是到达它的最短长度等于本身，也就是若 k 是正则基数，则不存在小于 k 个小于 k 的集组之并的基数为 k ，或者说不存在小于 k 个严格递增的序列，其极限为 k 。奇异就是到达它的最短长度小于本身。对于基数 k ，存在小于 k 的严格递增的序列的极限为 k ,则 k 为奇异基数。正规和奇异基数引入了共尾度的概念，共尾度就是到达它的最短长度。后继序数的共尾度是1。正则基数就是 cf ( k )= k ，奇异基数就是 cf ( k ) amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .
不可达基数 k 就是对任意小于 k 的基数，取幂集的基数仍然小于 k 并且由任意小于 k 个小于 k 的集组之并的基数仍然小于 k 。而对比弱不可达基数只要满足＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基数的后继仍然＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。
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