连续统问题是希尔伯特第一问，另一个问题是关于可判定性的。
在有限的时间内，是否总有可能找到一个步步推进的程序，对一个给定的数学命题的真伪进行判断。
哥德尔不完备定理粉碎了这种可判定性。
它证明了在任何逻辑统一且大到能够包含所有算法规则的公理体系中，总有一些数学事实无法被证明。
但哥德尔不完备定理依旧给数学命题是否可证留下了一道门。
虽然每一个自洽的公理系统中都存在不可被证明的数学事实，但能否找到一系列的步骤或算法，来判定任何给定的数学命题是否可证。
就像是哥德尔在证明不完备定理时做的那样，证明一个数学命题的不可证明性。
关上这扇门的是图灵和图灵机的停机问题。
没有一种通用的算法可以判定所有的输入结果是否会出现停机，希尔伯特判定问题无法被解决。
无论一个程序多么巧妙，在任何情况下，它都无法计算出其他程序是否会终止。
许多数学事实不仅不可证明，甚至连它们是否可以被证明都无法确定。
这些问题就被称为不可判定问题。
在数学中，证明命题的难度分为几个等级。
有些命题有短的公理性证明，它们的证明简洁美丽。
在现代计算机出现之前得到证明的命题都是这一类，也是大部分人所熟知的证明。
有些命题没有短的公理性证明，但采用计算之后有短证明，比如四色定理。
有些命题就算用上了计算，也还是只有长证明，不可能在一块黑板上用粉笔写下完整的证明。
并不是所有的数学问题都很简单，能做的证明都能在几页纸内写完。
『我有一个绝妙的证明，但空白处太少，我写不下』
这句话用在不可判定问题上恰如其分。
李恒敲了敲桌子上的芝诺机道：
“虽然无法窥探不可数无限集合中的无限元素，但有限的人类至少能研究可数无限集合中的有限元素，以此确定可数无限的某些性质。”
“超图灵机就是这样一类假想的计算机器，它们的计算能力从有限次扩展到了无限次。”
阿基里斯凝神看去，只见那张纸上多出了一个标题【图灵度层级】。
她的那台芝诺机所在的位置与标题几乎重合在了一起，旁写着0(1)的字样。
“这里就是超穷序数出场的时候了。”
“超穷序数衡量的是无限序列的长度，也就是超图灵机进行是、否判定的次数。”
“地球上普通的超级计算机能做到每秒数百亿亿次的计算，这台芝诺机则能做到在1秒内完成无限次计算。”
“因此，这台芝诺机的算力就是ω。”
阿基里斯听得下意识点了两下脑袋，表示“我已经完全明白了”。
这比起刚刚那个名叫哥德尔的老头讲的连续统问题简单太多了。
那个老头说的话就跟天书似的，很难把这样一个老头与深度被害妄想症患者联系在一起。
在之前那段诊疗时间里，她所做的只是保持着尴尬且不失礼貌的微笑，装作自己正在观赏壁炉中跳动的火焰。
“既然它的算力是ω，那么旁边的那个0(1)又是什么意思？”
阿基里斯猜测道：
“是不是表示这台芝诺机算力的另一种符号？”
李恒点头道：
“没错。”
“最原始的超图灵机模型是预言机，又称谕示机，它可以被视为多了个黑盒子的图灵机。”
“预言者能解答的问题可以是任何复杂度之内的问题，甚至可以使用不可判定问题，像是停机问题。”
“不过，当一台谕示机配备了一个能解答停机问题的预言者时，我更喜欢把它称作神谕机。”
谕示的原文oracle的意思就是“神的宣布”，也就是神谕。
图灵是无神论者，他相信物理世界是可计算的，神是不存在的，所以神谕当然也不存在。
在图灵眼中，能解答不可判定问题的超图灵机，宛如神谕。
“图灵机无法解决停机问题，但神谕机却可以解决停机问题，显然它的计算能力比图灵机更强。”
“利用停机问题，就像从有限到无限的跨越一样，能够得到一台计算能力超越图灵机的超级计算机。”
“一台能解决停机问题的神谕机，就等价于能进行ω次计算的超图灵机。”
“将图灵机可解决的问题难度称作是0，停机问题的难度就是0＇，从0到0＇的过程则称作是一次图灵跳跃。”
“所谓的0(1)就是这个意思，它代表的是一次图灵跳跃后抵达的位置，是衡量超图灵机能解决的问题难度的层级。”
“不可判定的问题无穷无尽，但这些不可解问题的难度却各不相同，连续统问题就远比图灵机的停机问题困难得多。”
李恒指着身前纸上的标题道：
“图灵度层级，也称为不可解度层级，它描述的是那些图灵机不可判定的问题的难度。”
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