这大半年，兰恩彻底忍住自己，不去看那些前沿期刊的做法，还是很有效的。
题海战术备战升学之余，他也在不停地补课。
兰恩的做法是，忍住不去接触前沿的东西，转而从一个点入手，抽丝剥茧，理一遍之前的脉络树。
勤奋和努力没有白费。
对于这篇《论数字计算在决断难题中的应用》，兰恩已经大致理解了它的思路，它的前因后果。代价是，他花在各种资料和文献上的时间，大大超出了他用在做题上的时间。
合上最后一本书，兰恩慢慢整理自己的思路。
“图灵机的原理只是附属，这篇论文最中心的思想还是解决可计算性问题。”
“而他对于可计算性的思索，本质上还是第三次数学危机的延伸。”
说到数学危机。
第一次数学危机，是产生于远古时代，那个魔法依然是神秘的魔法，奥术还远远不成系统，与魔法完全不分家的时代。
由于几何在当年的魔法阵和施法上的巨大作用，数学的意义首次被提高了。
有的魔法师学者们开始认为“万物皆数”，即：数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
直到他们遇到了正五边形的问题。
在当时那个神秘学当道的时代，正三角形、五角星、六芒星、八角星是最常用的基础架构图形。直到有一个法师，发现五角星连成正五边形后，边与对角线的比无法用有理数表示。
然后他被束缚后，扔下了法师塔。
这次也被后世称作“无理数危机”。
当然，由于无理数的定义，这次危机在历经沧桑后最终解决。
由此带来的后果是积极的，法师们察觉，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是最可靠的，从此法师们开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系。
这是巨大的进步和奠基作用，也深深地影响了以后奥术的出现。
第二次数学危机，则是在伟大的光荣时代，由大奥术师艾萨克和大奥术师莱布尼兹共同引发的。
想到莱布尼兹，兰恩又想到了莱布尼兹大奥术师的生平。
由于对艾伦·麦席森论文中，特意提到的莱布尼兹手稿感兴趣，兰恩特地去查了一点资料。
出生于目前神圣同盟的势力范围内，一个魔法世家的他，却深深地相信一切都可以用理性分析。然后他盯上了数学这项在法师间广为使用的基础工具，根据记载，他和艾萨克几乎同时，各自独立的发明了微积分。然后，他们的工作，建立的体系，深深地影响了后世至今。而且，他还涉猎广泛，在许多不同的领域都有傲人的成就。
他有一个传播很广但是上不了台面的观点：“我们的世界，或许不是创世神创造的最好的一个，但肯定属于最有意思的一批。”
对于这一点，兰恩比较以为然。
跑题了。
兰恩拉回思绪。
艾萨克和莱布尼兹引发的这项危机，正是由于他们的微积分。
在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了法师和奥术师们长达一百多年的争论。这就是第二次数学危机，又名“无穷小危机”。
后来，是柯西和魏尔斯特拉斯等一批奥术师，通过对数学分析一系列基本概念的精确定义，以及对分析的算术化，逐步解决了这次危机，恢复了数学的结构。
这次危机的意义，一是加速了分析数学的发展，使其成为了庞大的体系；二是彻底解下了微积分甚至数学上面神秘的面纱，冲破了魔法的束缚，为数学的独立发展创造了条件，也让普通人有机会成为奥术师。比如兰恩所在的小学，颇有一些头脑超人，但是资质一般或家境一般的同学，在小学毕业后直接去奥术学院就读。
第三次数学危机，也就是目前魔法界和奥术界正在经历的这次，却是由于集合论的悖论产生的。
它像第一次危机那样，突然出现。
在一个位于奥法联邦，名叫伯特兰·阿瑟的奥术师研究集合的时候，忽然发现了悖论。
关于这个悖论的阐述，最着名的是“理发师问题”。
一个理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否自己给自己刮脸？“如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
这就是这次危机的核心问题。
危机爆发时，距离大奥术师庞加莱的宣称“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了”才刚刚过去两年，属于赤裸裸的打脸。
直到如今，危机仍然在蔓延。
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