张敬修听朱载堉讲了近半个时辰珠算开方，基本上是全程懵逼，他只是在程大位的指点下，掌握了算盘的基本用法，再复杂些的就不太明白了。
而朱载堉见张敬修一副似懂非懂的样子，也大概知道张敬修并不精擅珠算之道，而是抛开算筹另辟蹊径，在泰西数字的基础上，创造了一批运算符号，让算术变得更加直观易懂。
于是就拿起放在边上的《新算学启蒙》，笑着说道：“状元郎这本算术书虽是以番邦字符为基，有些落了下乘，但此中方法规则，确实要比用文字和算筹表达要方便得多。而且数字越大，运算越复杂，就越显得省事。我只不过看了一刻多钟，就获益良多，实可称得上算术奇书。”
张敬修不好意思地笑了笑：“其实我也是在研习《九章算术》、《海岛算经》时，深觉晦涩难懂，便把偶然看过的泰西数字加以改良，并以算术规则辅之，果然要简便得多。家中幼弟以此书为算学启蒙，也觉要好学得多。至于珠算，我实未有过深研细究，只是在一好友的指点下，知道如何使用算盘罢了。”
朱载堉道：“学问之道，殊途同归，算学也是如此，状元堂创出的新式算法，可让初学者，在修习算学时更加便易，亦可使后人少走很多弯路。”
说着便向张敬修交谈《新算学启蒙》，这书中都是后世小学数学的知识点，朱载堉很快就将其掌握，并询问张敬修是否还有更难的。
张敬修正有此意，当下请王府内侍拿来纸笔，讲起了小学、初中的几何内容。
中国的数学，因庞大的人口和大帝国管理的需要，在代数方面此时并不落后，反而还处于世界领先水平。但在几何学上，却一直处于落后地位。
此时，朱载堉听得张敬修讲解各种几何图形，仿若打开了一道大门，他觉得以后自己又多了一门可以研究的内容。
在解开一道圆柱问题之后，朱载堉兴奋莫名道：“君平真乃大才，能画出这些图形就已是极了不起了，竟然还能研究出解图形的算法公式，莫非君平是生而知之者吗？”
朱载堉谈的兴起，便不知不觉与张敬修亲近起来，也不一口一个“状元郎”的叫，而是称呼起张敬修的表字来。
朱载堉不拘于礼法，完全没有亲王世子的架子，张敬修与其交谈，颇有种在后世与友人闲谈辩论的感觉，兴致大起之下，对朱载堉道：“世子，在画出这些图形之后，我便常思是否有法子将图形与数字联系起来，苦思之下，倒也琢磨出一些门道。今日恰逢其会，就请世子指点一二。”
朱载堉顿时大感兴趣，笑着说道：“君平但请说来，我可恨不得将君平心中的巧思掏个干净。”
张敬修微微一笑，请一旁伺候的内侍拿来几颗木炭，在纸上分别画了一个后世高中生都会画的直角坐标系和空间直角坐标系，对朱载堉道：“世子且看，这就是我琢磨出的‘数形结合’之法。”
朱载堉听到“数形结合”，心中转了转念头，从张敬修手中接过纸张看了，颇有些摸不着头脑：“这又如何可让数与形结合？”
张敬修笑了笑，拿过一张纸张画上平面直角坐标系，写了一个函数和二次函数，然后轻松地在坐标系上画出了一条直线和抛物线。
放下木炭，张敬修笑着对朱载堉道：“世子请看，这便是我想出来的法子，名为‘坐标系’，通过此法，便可探的以数表形的奥妙。”
朱载堉认真看过，只稍一琢磨，就张大嘴巴满脸都露出震惊之色。张敬修写的一次函数和二次函数的式子没什么了不起的，老祖宗早就已经将方程推到四元以上。这直角坐标系看起来也是简简单单，便是没有读过书的白丁轻轻松松随手就能画出来。
然而，就是这样简单的十字图形，就让人类在“数”与“形”之间架起了一座桥梁，让直观的几何图形与代数方程结合起来，从此以后，代数与几何就合为一体，数学这个工具，也真正开始发挥其“科学之母”的作用。
数学是一门极度需要天分的学问，张敬修掌握的这些数学知识，在后世看来不算高深，但在此时却是划时代的，他在教三弟懋修学习数学时，懋修虽是有一定天分，但讲到几何和函数时，就明显有些接受不了。当然，这也和懋修年纪还小有关。
而朱载堉却是不同，作为这个时代智商顶尖的科学家，其理解能力显然是异于常人的，只是缺人点拨，不得其门而入而已。有了张敬修这样一个从后世而来的穿越者，朱载堉这样有志潜心学问研究的天才，说不定就能产生智慧的火花，创造出伟大的研究成果出来。
随后，张敬修又用木炭在白纸上，向朱载堉演示了圆锥曲线作图，解方程；提出了数列、函数、集合、概率乃至向量导数等等的相关概念，都是些初、高中知识。可以说，张敬修已经将其掌握的数学知识一股脑儿的全说了出来。
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